La sixième rencontre de l’ANR DIMERS a eu lieu à l’Institut de physique théorique le 18 octobre 2022. Les exposés ont eu lieu en salle Itzykson.
Depuis Paris, la façon la plus simple de rejoindre l’IPhT en transports en commun est de prendre le RER B jusqu’à l’arrêt Le Guichet (prendre un train à destination de Saint-Rémy lès-Chevreuse ou d’Orsay-Ville), puis le bus 9 (à destination de Christ de Saclay ou Campus HEC ou Gare de Jouy-en-Josas) jusqu’à l’arrêt Orme des Merisiers. Pour rejoindre l’arrêt du bus 9 depuis le RER, se placer en tête de train et suivre la foule (voir aussi ce plan). Une autre option est de descendre du RER B à Massy-Palaiseau et de prendre le bus 91-06, toujours jusqu’à l’arrêt Orme des Merisiers.
Depuis Lyon, le plus simple est d’arriver en train à la gare de Massy TGV puis de prendre le bus 91-06 jusqu’à l’arrêt Orme des Merisiers.
Une fois arrivé à l’arrêt Orme des Merisiers, entrer par le petit portail face à l’arrêt de bus, l’IPhT se situe au fond à droite du campus, à environ 700m (cf plan).
The dSKP recurrence: combinatorial aspects and geometric systems /slides/
Le sujet de cet exposé est la récurrence dSKP. Dans un premier temps, nous allons montrer une expression explicite pour la solution comme fonction des données initiales; plus précisément, nous montrerons que la solution est le quotient de deux fonctions de partition d’un modèle de dimères dirigés associé. Dans chacune de ces fonctions de partition, certains termes s’annulent, et nous prouverons une formule alternative, sans annulation, utilisant des paires d’arbres couvrants complémentaires. En dehors de son intérêt combinatoire, cette expression permet de montrer des résultats de singularité. Ensuite, nous montrerons comment l’équation dSKP apparaît dans différents systèmes géométriques, comme par exemple les fonctions holomorphes discrètes, le “polygon recutting” ou le “pentagram map”. En utilisant nos résultats précédents, nous donnerons des formules explicites pour leurs solutions et parlerons de la propriété Devron. Cet exposé est basé sur des travaux joints avec Niklas Affolter et Paul Melotti.
A variational principle for multiply-connected domains in Domino world /slides/
In this talk we will focus on features of random domino tilings of a multiply-connected domain. We will compare the classical Arctic circle theorem and its analog for the Aztec diamond with a hole, where the height function obtains a monodromy, non-zero increment going around a loop. A more suitable definition of the height function, inspired by complex analysis, will be presented. It allows us to formulate a variational principle for a multiply-connected domain.
Progrès récents en théorie de Yang-Mills en deux dimensions
D’un point de vue probabiliste, l’objet de la théorie de Yang-Mills est la construction et l’étude d’une mesure finie sur l’espace des connexions sur un fibré principal au-dessus d’une certaine variété qui jour le rôle de l’espace-temps. Cette mesure admet une description heuristique comme mesure de Gibbs associée à la fonctionnelle d’action de Yang-Mills, et sa manifestation concrète est un processus stochastique indexé par une classe de lacets suffisamment réguliers sur la variété, à valeurs dans un groupe de matrices compact, tel que SU(N) ou SO(N).
Les quantités fondamentales dans cette théorie sont les valeurs moyennes du produit des traces des matrices associées à des ensemble finis de lacets, aussi appelées boucles de Wilson ; ces fonctions jouent le rôle de “fonctions à n points” d’une théorie des champs. Le calcul de ces valeurs moyennes n’est rigoureusement possible que lorsque l’espace-temps est euclidien et de dimension 2, car c’est le seul cas, pour l’instant, où la mesure est mathématiquement définie.
Je présenterai le modèle, sans rien supposer de connu à son sujet, puis des résultats récents sur sa fonction de partition et le calcul des boucles de Wilson, à N fixé (le N de SU(N)), et lorsque N tend vers l’infini. Je soulignerai le rôle joué par la théorie des représentations des groupes unitaires dans ces calculs, et la manière dont la dualité de Schur-Weyl permet de mener certains d’entre eux.
Limit shapes in quantum integrable spin chains /slides/
Limit shapes are known to occur in various models in statistical mechanics, for example dimer models or vertex models. In this talk, I will discuss how those appear in quantum spin chains or quantum fermionic models initialized in a domain wall state. The main example will be the XXZ spin chain, for which some exact results may be obtained using Integrability techniques. This is done by taking a non trivial limit in the six vertex model with domain wall boundary conditions, and working out this limit in terms of orthogonal polynomials. If time permits I will also discuss real time quantum dynamics and simpler free quantum models where a probabilistic meaning may be lost.
